Математическое моделирование турбулентного течения

несжимаемой жидкости в трубах

При ламинарном движении полученные теоретические решения для труб хорошо совпадают с результатами опытов. Для турбулентного движения в трубах точного теоретического решения не существует и все закономерности получены либо из опытов, либо имеют полуэмпирический характер.

Рассмотрим профили скоростей при турбулентном движении в трубе.  Между законом сопротивления и характером профиля скоростей в трубе существует однозначная связь, т.е. каждому профилю скоростей  соответствует свой закон сопротивления, и наоборот.

Для получения закона распределения скоростей по радиусу трубы  будем полагать, что, так же, как и для бесконечной пластины, в непосредственной близости от стенки трубы имеет место ламинарный  подслой, в котором скорость - линейная функция от "у":

, (2.32)

и что профиль скоростей в остальной части трубы подчиняется закону:

,

где А и В выражаются через универсальные газовые постоянные a и æ.

Известный ученый Никурадзе из анализа опытов с турбулентным потоком в круглой трубе при числах

 (где - средняя расходная скорость, D - диаметр трубы), достигавших 3×106, нашел численные значения постоянных æ=0.4 и a=11.5. Таким образом, был получен логарифмический закон профиля скоростей:

 . (2.33)

Из опытов получено, что нижний предел

, а верхнее предельное значение »70. Это означает, что в пределах  имеет место переходная область, в которой вязкое и турбулентное трения соизмеримы. При  будет только вязкое  (или ламинарное) трение, а при  только турбулентное трение. Далее следует, что толщина ламинарного подслоя с учетом формулы (2.28) может быть определена из условия:

.

Измерения показали, что вблизи центра трубы распределение скоростей  несколько отлично от логарифмического, но это отличие не очень существенно  и в практических расчетах не учитывается. Можно считать, что логарифмический профиль скоростей является универсальным, пригодным для широкого диапазона чисел Re.

Вычислим далее так же, как и для ламинарного движения, максимальную 

 и среднюю  скорости и расход жидкости при логарифмическом законе распределения скоростей.
Очевидно, максимальная скорость  будет на оси трубы, т.е. при y=R. Подставив это значение в формулу для (2.33), получим:

.

Вычитая из этой формулы значение , получим так называемый дефект скорости:



или

.

Здесь æ=0.4 по Никурадзе. Тогда .

Величина средней скорости может быть определена как отношение объемного расхода Q к площади поперечного сечения трубы, т.е.

.

Подставив под интеграл величину скорости по формуле



и разделив обе части выражения для на , получим:

.

Таким образом, получим зависимость:

.

Если взять выражение для и разделить его на выражение для , то получим отношение максимальной скорости (на оси трубы) к ее среднему (расходному) значению по сечению трубы:

.

В отличие от ламинарного движения в круглой трубе, при котором, в турбулентном движении это отношение уменьшается  с ростом числа Re от 1.3 (при Re = 5000) до 1.15 (при Re = 3×106). При Re®¥ указанное отношение как бы стремится к единице. Это говорит о резком отличии формы профиля скоростей в турбулентном движении от параболы скоростей в ламинарном  движении и объясняется тем, что профили скоростей при переходе  от ламинарного движения к турбулентному становятся более полными, причем степень их заполненности возрастает с увеличением  числа Re.

Более простым, но далеко не универсальным профилем скоростей при турбулентном движении в трубе является так называемый степенной профиль:

. (2.34)

Этот степенной профиль скоростей при числах Re»5×104 имеет вид:



и получил название закона одной седьмой.

Экспериментально было показано, что величина показателя степени "n" зависит от числа Re и с его увеличением падает. Оказалось возможным каждому числу Re подобрать такой показатель степени "n", чтобы полученный профиль скоростей наилучшим образом совпадал с результатами эксперимента.

Отношение максимальной к средней по сечению скорости при степенном профиле может быть найдено следующим образом. Определив по формуле

,

найдем:



или окончательно:



.

Результаты расчетов при различных "n" можно свести в таблицу:

n	1/6	1/7	1/8	1/9	1/10
	1.264	1.224	1.194	1.173	1.156

Можно отметить, что отношения , полученные по степенному и логарифмическому законам, практически совпадают.

Аналогично обычному степенному закону можно ввести степенное распределение скоростей в виде:

.   (2.35)

Значение коэффициента А можно определить из граничных условий на границе ламинарного подслоя: при y=dл скорость ux=uxл  и постоянная . Но так как , а , то  и тогда .

Зная величину a и задаваясь показателем n, можно получить численное значение постоянной А. Если a=11.5, то при n=1/7 А=8.74, и следовательно:

.

Надо отметить, что такое распределение скоростей при n=1/7 хорошо совпадает с экспериментом лишь в области Re £ 105, в то время как логарифмический профиль скоростей, который является  универсальным законом, дает хорошее совпадение с экспериментом  во всем диапазоне скоростей.

Рассмотрим законы сопротивления при турбулентном движении в трубах. Как уже было сказано, между профилем скоростей в трубе и законом сопротивления существует однозначная связь, т.е. каждому  профилю скоростей соответствует свой закон сопротивления, и наоборот.

Блазиус предложил степенной закон сопротивления в виде:

,

где l - коэффициент сопротивления; а = 0.3164; m = 0.25 ( при Reкр < Re < 5.104).

Более поздние опыты показали, что численные значения в законе  сопротивления зависят от числа Re. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим связь динамической скорости  с коэффициентом сопротивления l. При равномерном установившемся движении жидкости в трубе перепад Dр полностью определяется величиной tw напряжения трения на стенке, так что безотносительно к характеру движения жидкости в трубе (ламинарному или турбулентному) можно написать следующее равенство:

,  (2.36)

означающее, что движущийся перепад уравновешивается сопротивлением трения. С другой стороны:



. (2.37)

В этих формулах DP - перепад давления на участке трубы длиной l; D - диаметр трубы; - средняя скорость.

Подставив DP из формулы (2.37) в формулу (2.36), получим:



Откуда величина напряжения на стенке tw равна:



или .

Из последней формулы следует, что



тогда .

Если применить формулу степенного профиля скорости  для границы ламинарного подслоя, где при  скорость , то получим:

,

откуда                                .

После преобразования найдем:

.

Отсюда 

Воспользовавшись выражениями, полученными ранее:

     ;

после простых преобразований получим:

.

Сравнивая это выражение с формулой Блазиуса: , получим:



Отсюда следует, что закону сопротивления Блазиуса, в котором m=1/4, соответствует закон одной седьмой для профиля скорости.

Более универсальным, пригодным для всего диапазона чисел Re, является логарифмический закон сопротивления. Этот закон соответствует логарифмическому профилю скоростей и легко может быть получен.

Представим формулу для максимальной скорости турбулентного движения при логарифмическом профиле скоростей



в виде: .

Так как , а , то





.

Окончательно, логарифмический закон сопротивления имеет вид:

,

где А1»2, В1»-0.8.

Многочисленные опыты Нуссельта, Никурадзе и др. подтверждают эту формулу с округленными коэффициентами:

.

Эта формула для использования неудобна, так как зависимость lот числа Re дана в неявном виде. Никурадзе предложил пользоваться следующей явной зависимостью:



(для напоминания: при ламинарном движении l=64/Re).

Один из вариантов расчета установившегося движения жидкости в круглой трубе таков:

а) задаются длина l и диаметр трубы D, кинематический коэффициент вязкости жидкости n и потребный расход жидкости Q,

б) по расходу и диаметру находим среднюю скорость  и число Рейнольдса ,

в) находим коэффициент сопротивления: ,

г) находим перепад давления DP на заданном участке трубы длины l:

 ,

д) находим сопротивление трения и динамическую скорость

,

е) определяем логарифмический профиль скоростей в трубе по формуле:



 

Задача решена.

Наряду с законами сопротивления, соответствующими степенному профилю скоростей  и логарифмическому профилю скоростей  практический интерес представляет степенной профиль вида:

,

где .

Запишем данную зависимость для оси трубы (y=R):

 

.

Вспоминая выражение для , получим:

, где

Тогда закон сопротивления будет иметь вид:

.

В результате получаем для так называемого коэффициента местного сопротивления

 ,

где .

Для наиболее распространенного профиля скоростей - закона одной седьмой (n=1/7; A=8.74) - закон сопротивления будет иметь вид:

 (2.38)

или  

.

В отличие от предыдущих законов сопротивления, в которых дана зависимость l(Re), в формуле (2.38) дается зависимость местного коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса.

Практика показывает, что законы сопротивления при турбулентном  движении в трубах круглого сечения можно использовать и для расчета потерь в трубах любого поперечного сечения, если число Re выражать через гидравлический радиус , где , S- площадь поперечного сечения трубы, П - его периметр.

2.6 Математическая модель турбулентного пограничного

слоя на пластине

Вид уравнений движения и импульсов в турбулентном пограничном слое остается таким же, как и для ламинарного пограничного слоя, но значения d, d*, d** и tw будут иными.

Уравнение импульсов:

.

В основу полуэмпирической теории турбулентного пограничного слоя положена аналогия между турбулентным движением жидкости в трубе и в пограничном слое. При рассмотрении задачи о движении жидкости в трубе и в ламинарном пограничном слое было установлено, что:

а) давление зависит от продольной координаты и не зависит от радиуса  трубы и от расстояния по нормали к стенке в пограничном слое;

б) скорости на стенке в обоих случаях равны нулю;

в) в трубе скорость достигает наибольшего своего значения на оси, а в пограничном слое - на его границе;

Отсюда можно заключить, что радиусу трубы и скорости на оси в трубе соответствует толщина слоя d и скорость u¥ на границе в пограничном слое.


Эти соотношения можно применить и к осредненному движению. Тогда профили скоростей в турбулентном пограничном слое могут быть представлены в виде степенного или логарифмического законов, полученных ранее для труб.

1)   Найдем сопротивление продольно обтекаемой пластины, воспользовавшись  степенным законом:

.

Введя обозначение , получим величину d**, необходимую для уравнения импульсов:



При n=1/7, т.е. при законе одной седьмой , получим

.

Для установления связи между tw и d воспользуемся степенным законом сопротивления, полученным для турбулентного движения в трубе.

.

Заменив в этом уравнении  R на d и umax  на u¥, получим

.

Подставив полученные выражения для d** и tw в уравнение импульсов, будем иметь:    

.

Преобразуем это уравнение к виду

.

Теперь проинтегрируем это уравнение, используя следующее граничное условие: при х=0 d=0, означающее, что турбулентный пограничный слой  начинается с передней кромки пластины.

.

При х=0  d=0, следовательно, С=0, и тогда

; ,

или окончательно получим:



.

Видно, что для турбулентного пограничного слоя характерные толщины слоя пропорциональны х4/5, в то время как для ламинарного пограничного слоя они пропорциональны  (см. формулу  для ламинарного подслоя). Следовательно, турбулентный слой растет по х более интенсивно, чем ламинарный. Зная d, найдем теперь напряжение трения tw:

;

.

Коэффициент местного сопротивления трения пластины будет иметь вид:

,

т.е.

,

Найдем величину полного сопротивления Rx пластины (с двух сторон). Оно равно:

 ,

где b - ширина пластины.

Подставляя выражение для tw в виде:

 ,

получим

.

Проинтегрируем это выражение:



.

Окончательно: , где .

Коэффициент полного сопротивления (см. формулу (1.29)) равен:

.

Подставляя значение Rx, получаем

.

Сравнение с экспериментом показало, что в последней формуле лучше взять коэффициент не 0.072, а 0.074, т.е.

.

Сравнение коэффициентов полного сопротивления при турбулентном  и ламинарного  пограничных слоях показывает, что при одинаковых числах Re коэффициент полного сопротивления при турбулентном погранслое намного больше, чем при ламинарном (Сft>Cfл ).



Например, при Re=106 ; , т.е. .

Отсюда следует важный практический вывод: для уменьшения сопротивления трения обтекаемого тела необходимо добиться увеличения участка ламинарного пограничного слоя (рис. 12) и уменьшения участка турбулентного, т.е. необходимо затягивать как можно дальше ламинарное обтекание профиля{8].



 Связь между коэффициентом сопротивления трения при турбулентном погранслое и общим коэффициентом сопротивления трения обтекаемого тела Cf можно выразить как , откуда .

Это выражение можно записать по другому:

, где  .

Толщина ламинарного пограничного слоя   или

.

Отсюда                               .

Величина хкр, а следовательно и  dл кр определяется из выражения для числа , которое является известным.

2)   Логарифмический профиль скоростей для турбулентного пограничного слоя, полученный по аналогии с турбулентным движением в трубе  имеет вид.

.

Закон сопротивления, соответствующий логарифмическому профилю скоростей, довольно сложен. Коэффициент местного сопротивления трения в данном случае выражается зависимостью:

.

Коэффициент полного сопротивления трения:

, где .

2.7. Математическое моделирование обтекания турбулентным потоком

профиля произвольной формы

Отсутствие строгих теоретических основ турбулентного движения привело к появлению значительного количества полуэмпирических методов  расчета турбулентного пограничного слоя на профиле. Изложим так называемый однопараметрический метод расчета[3]. Он выгодно отличается своей простотой и глубокой связью с методом такого же расчета ламинарного пограничного слоя.

В турбулентном погранслое так же, как и в ламинарном, вводится  формпараметр. Уравнение импульсов здесь имеет такой же вид, как и для ламинарного пограничного слоя. Допуская, что кривые зависимостей H(f) и z(f)  подобны в ламинарном и турбулентном пограничных слоях, получим простое решение задачи.

В отличие от ламинарного слоя, в котором формпараметр f и параметр z имели вид:

 

где ,

для турбулентного пограничного слоя в целях большей независимости решения от числа Re вводится более общий вид указанных величин:





где G(Re**) - некоторая функция от Re**, вид которой будет получен далее.

Выразим уравнение импульсов (1.26) через f и z следующим образом:

, где .

Умножив это уравнение на G(Re**), получим:

. (2.39)

Преобразуем первое слагаемое, представив его через производную от произведения G(Re**)×d**.Тогда:







.

Введем величину, , по своей структуре слабо зависящую от Re**, и перепишем предыдущее уравнение в виде:

,

или .

Найдем отсюда член



и подставим его в уравнение импульсов (2.39). Тогда

.

Отсюда

или

.     (2.40)

Раскрывая производную в левой части, получим:



.

Подставляя это выражение в уравнение (2.40), получим:



или

где                (2.41)

Это уравнение ничем не отличается от своего ламинарного аналога (дифференциального уравнения формпараметра (1.31)), которое являлось основным для расчета ламинарного пограничного слоя на крыловом профиле произвольной формы. Различие заключается лишь в виде функциональной зависимости F(f). Если в выражении (2.41) для турбулентного погранслоя положить m=1, то оно совпадает с выражением  для F(f) ламинарного пограничного слоя (см. уравнение (1.30)).

Величина G(Re**) принимается обратно пропорциональной местному  коэффициенту сопротивления трения пластины, для которой , и, следовательно, значение формпараметра

.

Из формулы  найдем

.

Таким образом, можно принять.

При этом видно, что численное значение коэффициента пропорциональности  здесь несущественно, т.к. изменение этого коэффициента вызовет изменение G(Re**), а следовательно z и f, но не повлияет на функцию m, определяющую вид F(f). Следовательно, можно воспользоваться любым эмпирическим законом сопротивления для турбулентного слоя на пластине. Из многих опытов с длинными пластинами Фолкнер получил чисто эмпирический закон сопротивления в виде:

.

Воспользовавшись этим законом, получим:

.

Следовательно, формпараметр f и параметр z будут иметь вид:

,

.

Функция m при выбранном G(Re**) равна:

.

Это соотношение получается следующим образом: из формулы  очевидно, что



.

Тогда , и функция

.

Линеаризуем функцию F(f), положив, как и для пластины,  и (из опытных данных).

Принимая эти значения z и H,  найдем для F(f) линейное представление F(f)=a-bf, аналогичное представлению функции F(f) для ламинарного погранслоя, но с другими величинами постоянных a и b, равными для турбулентного погранслоя a=7/6 и b=4.7¸4.8.

Тогда уравнение импульсов для турбулентного погранслоя (2.41) можно представить в виде:

,

не отличающемуся по виду от соответствующего уравнения для ламинарного пограничного слоя и имеющего лишь другие численные значения для коэффициентов a и b.

Решением этого линейного дифференциального уравнения первого порядка является интеграл (решение в виде простой квадратуры):

.

Если турбулентный погранслой возникает с начальной точки профиля т.е. ламинарный участок отсутствует, то С=0 (так как при х=0, u¥=0) и

.

Так как в числитель и знаменатель в правой части равенства входит скорость, то , следовательно, начальная точка (х=0), в которой скорость равна нулю, есть особая точка. Раскрывая неопределенность, получим

.

Покажем это. Раскрытие неопределенности вида  осуществляем по правилу Лопиталя, которое гласит, что для разыскания предела отношения  двух функций, бесконечно малых при X®а, можно рассматривать отношение их производных . Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к этому же пределу стремится и отношение .

Согласно правилу Лопиталя:  

.

Пои наличии участка ламинарного пограничного слоя в интервале абсцисс (0<x<xкр), выражение для f(x) несколько усложняется и принимает вид:

.

Здесь индексом "кр" обозначены соответствующие величины в точке перехода ламинарного погранслоя в турбулентный. Значение формпараметра

.

Приняв , получим окончательное выражение для формпараметра f(x) при наличии ламинарного участка:



Согласно принятому условию смыкания ламинарного и турбулентного пограничных  слоев, величина  в точке перехода должна быть рассчитана  по теории ламинарного пограничного слоя.


Пользуясь последней формулой, определяют f(x), после чего можно найти Re** по формуле

,

а затем

.

Для проверки: .

Зная Re**, можно найти , после чего, учитывая, что в принятом приближении z=1, найдем напряжение трения на стенке из формулы:

.

При z=1

И, наконец, находим местный коэффициент трения Сf,x из соотношения



аналогичного формуле для пластины, но при Re**, рассчитанном для заданного распределения скорости внешнего потока . Определив таким образом tw или Сf,x в функции от x и просуммировав  по поверхности крыла проекции элементарных сил трения twdx на направление набегающего потока, определим полное сопротивление трения крыла.

Может представить интерес определение толщины вытеснения d*. В принятом приближении эта величина равна:

.

Таким образом, все параметры потока, в том числе полное сопротивление  трения, могут быть определены. Надо подчеркнуть, что изложенный выше эмпирический подход, во многом  опирающийся на аналогию с задачей о турбулентном пограничном слое на пластине, т.е. на случай постоянства скорости на внешней границе пограничного слоя, при своей простоте не уступает по точности результатов  расчета другим, более совершенным методам.

Так как при безотрывном обтекании профиля сопротивление будет определяться почти полностью трением, то, очевидно, в этом случае для уменьшения сопротивления необходимо увеличивать участок ламинарного  пограничного слоя. Иначе обстоит дало с плохо обтекаемыми телами, для которых характерно отрывное обтекание. Отрыв турбулентного погранслоя происходит позже, чем ламинарного, затягивание точки отрыва турбулентного слоя существенно влияет на уменьшение величины полного сопротивления плохо обтекаемых тел (таких, как шар или поперечно обтекаемый цилиндр), поскольку при отрыве потока сопротивление возрастает.



На рис. 13 показана кривая коэффициента сопротивления шара в зависи­мости от числа Re набегающего потока. Видно, что при достиже­нии критического числа Рейнольдса (Reкр) происходит паде­ние коэффициента сопротивления.


Это явление называется кризисом обтекания плохо обтекаемых тел, сущность которого состоит в следующем.

Сопротивление плохо обтекаемых тел определяется прежде всего сопротивлением давления, которое зависит от величины области отрыва, а именно, чем больше область отрыва, т.е. чем раньше отрывается поток, тем больше сопротивление. При докритических числах Рейнольдса отрывается ламинарный слой и точка отрыва в этом случае расположена пол углом j » 80°. При увеличении числа Re до критического, т.е. при Re=Reкр точка перехода ламинарного погранслоя в турбулент­ный совпадает с точкой отрыва. Таким образом, при значениях Re³Reкр отрывается уже не ламинарный пограничный слой, а турбулентный. При этом точка отрыва расположена при j »110°-120°. Причиной такого затянутого отрыва турбулентного пограничного слоя по сравнению с ламинарным является то обстоятельство, что наличие турбулентных  пульсаций приводит к более интенсивному обмену энергией между пограничным слоем и внешним потоком, в результате чего кинетическая  энергия частиц жидкости в пограничном слое увеличивается. Причина отмеченного явления резкого уменьшения сопротивления шара видна из кривых  распределения давлений по его поверхности (см.рис.14).

S - точка отрыва потока Т - точка перехода ламинарного погранслоя в турбулентный 1.   Ламинарный отрыв: Сх=0,47 2.   Турбулентный отрыв Re=4,2×105; Cx=0,14 3. Идеальное распределение давлений

При значениях Re³Reкр (Reкр»2×105)наблюдается резкое возрастание максимального разрежения и смещение вниз по потоку точек отрыва пограничного слоя S, что свидетельствует об улучшении обтекания шара. Наличие при турбулентном обтекании более обширных и глубоких зон разряжения объясняет уменьшение коэффициента сопротивления, так как при более полном охвате поверхности шара потоком, распределение давлений приближается к тому идеальному, при котором, согласно парадоксу Даламбера, сопротивление давления должно равняться нулю.


Таким образом, величина области отрыва меньше при числах Re³Reкр. Этим и объясняется резкое уменьшение сопротивления плохо обтекаемого тела при достижении или превышении критического значения числа Рейнольдса. Величина Reкр сильно зависит от степени  турбулентности набегающего потока, причем большей степени турбулентности соответствует меньшее значение Reкр. Кризис обтекания можно вызвать искусственно и при докритических числах Re, если искусственно турбулизировать пограничный слой.

Таким образом, для уменьшения сопротивления плохо обтекаемых тел надо уменьшать величину ламинарного участка с тем, чтобы отрывался турбулентный слой, (точка отрыва у которого расположена далее по потоку).

2.8 Профильное сопротивление

Расчет турбулентного пограничного слоя лежит в основе определе­ния сопротивления тела при его движении в вязкой жидкости. Полное сопротивление (его называют еще лобовым) складывается из профильно­го сопротивления и индуктивного сопротивления. Индуктивное сопротив­ление обусловлено конечностью размаха тела (неплоским характером обтекания), вследствие чего местная подъемная сила может давать отлич­ную от нуля проекцию на направление общего набегающего потока.

Профильное сопротивление состоит из сопротивления трения и сопротивления давления. Сопротивление трения определяется как проек­ция на направление движения главного вектора касательных сил, прило­женных со стороны жидкости к поверхности тела, а сопротивление давления - соответственно аналогичной проекцией главного вектора нормальных сил. Во многих случаях даже при безотрывном обтекании сопро­тивление трения не составляет основную часть профильного сопротивления. Поэтому во многих задачах при безотрывном обтекании необходимо знать профильное сопротивление, т.е. сопротивление трения плюс сопротивление давления.

Рассмотрим чуть подробнее вторую составляющую профильного сопро­тивления. Согласно общему для ламинарного и турбулентного погранич­ных слоев представлению, вне области пограничного слоя поток может рассматриваться как движущаяся безвихревым образом идеальная, т.е.


лишенная вязкого трения, жидкость. При достаточной тонкости погранслоя и известном его свойстве передавать без изменения по сечениям слоя на поверхность тела давление внешнего (по отношению к пограничному слою) потока - главный вектор нормальных сил, согласно парадоксу Даламбера, должен быть равен нулю, а следовательно, и сопротивление давления не должно отличаться от нуля. Это было бы близко к действительности, если бы пограничный слой не возмущал внешний безвихревой поток. На самом же деле линии тока вследствие подтормаживающего влияния стенки оттес­няются от поверхности тела на величину d* , называемую толщиной вытеснения и равную смещению действительной линии тока относитель­но линии тока безвихревого обтекания тела идеальной жидкостью на внешней границе пограничного слоя. На поверхности обтекаемого тела (у=0) смещение линии тока исчезает, у обоих сравниваемых потоков (действительного и идеального) общая нулевая линия тока совпадает с поверхностью тела. При удалении от поверхности врыла смещения действительных линий тока по отношению к идеальным возрастают, и на границе пограничного слоя ( у=d) эта величина смещения достигает своего максимального значения.

Такое искажение картины течения приводит к нарушению идеального распределения давлений по поверхности тела. Таким образом, пограничный  слой не только управляется внешним потоком, но и оказывает на него обратное влияние, которое проявляется особенно сильно на тех участках пограничного слоя, где слой наиболее толст, например, вблизи точки отрыва или в конце тела.

Как показывают опыты, сопротивление давления хорошо обтекаемого крылового профиля при наличии на его поверхности полностью ламинарного или полностью турбулентного пограничного слоя убывает с ростом числа Re, т.к. при этом толщина погранслоя уменьшается и внешний поток приближается к безвихревому обтеканию профиля идеальной жидкостью.

Выражение коэффициента профильного сопротивления Схр крылового профиля в безграничном плоском потоке жидкости через толщину потери импульса на бесконечности имеет вид [9];



; (2.42)

где b -хорда крылового профиля; Rx - профильное сопротивление.  

Эта формула непосредственно не может быть использована ввиду невозможности определения толщины потери импульса  на бесконечности  за обтекаемым телом. Поэтому выведем приближенную связь этой величины с толщиной потери импульса на задней кромке крылового профиля, допускающей простое теоретическое и непосредственное экспериментальное  определение.

Для установления указанной связи применим к следу за обтекаемым телом интегральное соотношение пограничного слоя. Так как в следе tw =0 ввиду отсутствия стенки, то интегральное соотношение Кармана  для нашего случая примет вид: 

.

Делим это уравнение на d** и интегрируем его по х вдоль следа от задней кромки (индекс "к") до бесконечно удаленного сечения вниз по потоку (индекс "¥"), получаем:

.

Для вычисления последнего интеграла необходимо знать зависимость от "Х" в следе. Ряд исследований показал, что H(x) зависит от формы профиля и его обтекания. Наиболее простой является линейная зависимость Н от х, для которой

.

После подстановки найденного значения в интеграл последнее уравнение будет иметь вид:

 или .

Освобождаясь от логарифмов, запишем  .

Подставляя полученное выражение в формулу (2.42), получим:

. (2.43)

Так как на бесконечности за телом поле скоростей будет выравниваться, можно считать, что  будет всегда малой величиной, и, пренебрегая в достаточном удалении от задней кромки крыла второй степенью малой добавки , найдем:

.

Так как  , то разделив на , получим

.

Подставив эти выражения в формулу для , получим

.

Таким образом  и тогда Н¥=1. Значение Нк на задней кромке меняется от 1.3-1.4 для продольно обтекаемой пластины и 1.8 - 2.0  -  для толстых профилей. Обычно берут Нк=1.4 и тогда формула (2.43) для коэффициента профильного сопротивления будет иметь окончательный вид:

.

Эта известная формула Сквайра и Юнга, дающая хорошее совпадение расчетов с опытными материалами для широкого класса обтекаемых профилей.



БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.   Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя. M.: Наука, 1969. 742 с.

2.   Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика сплошных сред. М.: Госиздат технико-теоретической литературы, 1954.  795 с.

3.   Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1987. 840с.

4.   Седов Л.И., Механика сплошной среды. Т.I,II. М.: Наука, 1984.

5.   Шлихтинг Г., Возникновение турбулентности. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 302 с.

6.   Бай Ши-И. Турбулентное течение жидкостей и газов. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 344 с.

7.   Дж. Дейли, Харлеман. Механика жидкости. М.: Энергия, 1971. 400с. 

8.   Шахов В.Г., Основы теории пограничного слоя. Учеб. пособие. Куйбышев: КуАИ, 1989. 128 с.

9.   Повх И.Л., Техническая гидромеханика. Л.: Машиностроение,1976. 502с.

10. Брэдшоу П., Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974, 278с.  

Содержание

ВВЕДЕНИЕ
1. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИКОСТИ.................................... 1.1. Понятие о пограничном слое............................................................ 1.2. Ламинарный и пограничный слой в несжимаемой жидкости........ 1.3.  Математическая модель движения вязкой жидкости в ламинарном пограничном слое........................................................ 1.4.  Интегральные соотношения для ламинарного пограничного слоя.................................................................................................... 1.5.  Математическое моделирование обтекания ламинарным потоком профиля произвольной формы......................................... 1.6.  Математическое моделирование ламинарного течения несжимаемой жидкости в трубах.....................................................
2.   ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ............................. 2.1. Переход ламинарного течения в турбулентное.................................. 2.2. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости............. 2.3.  Математическая модель осредненного турбулентного движения ... 2.4. Двухслойная схема пристенной турбулентности................................ 2.5.  Математическое моделирование турбулентного течения несжимаемой жидкости в трубах.......................................................... 2.6. Математическая модель турбулентного пограничного слоя на пластине................................................................................................... 2.7.  Математическое моделирование обтекания турбулентным потоком профиля произвольной формы............................................. 2.8.  Профильное сопротивление.................................................................
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................................

ИГОРЬ СТЕПАНОВИЧ ЗАГУЗОВ,

КОНСТАНТИН АНАТОЛЬЕВИЧ ПОЛЯКОВ

Математическое моделирование течений вязкой жидкости

вблизи твердых поверхностей

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Редакторы - Н.А. Волынкина

Компьютерная верстка, макет - И.С. Колышева

Корректор - Н.В. Голубева

Подписано в печать               Формат 60х84 1/16.

Бумага белая тонкая. Печать оперативная.

Объем        печ. л.,     уч. - изд. л.  Тираж 150 экз.  С.        

Заказ №

Издательство «Самарский университет», 443011, г. Самара, ул. акад. Павлова 1.

МАО ПО «Сам Вен», 443099, г. Самара, ул. Венцека, 60


Содержание раздела

---